Математика— это наука о бесконечном.
Если теоремы математики прилагаются к отражению реального мира, они не точны, они точны до тех пор, пока они не ссылаются на действительность. — Цитата из доклада «Геометрия и опыт» (Geometrie und Erfahrung, 1921). Английский вариант популяризовал Карл Поппер.
Джинc (Jeans), уже в наше время, сформулировал [ответ на вопрос: “каким образом наше сознание постигает мир?”] приблизительно так: “почему математика способна объяснить мир?” — “потому, что мир подобен математике”. Он доказывает, таким образом, что действительность имеет ту же природу, что и математика — что мир есть математическое мышление (а потому идеален). Это аргумент явно не более здравый, нежели следующий: “почему язык может описывать мир?” — “потому, что мир подобен языку — он лингвистичен”, и далее: “почему английский язык может описывать мир?” — “потому, что мир устроен по-английски”. ...Из факта, что описание мира требует языка математики, о природе мира можно заключить лишь то, что миру присуща определенная степень сложности: в нем налицо определенные отношения, которые нельзя описать с помощью слишком примитивных инструментов описания. Джинса смутило, что наш мир оказывается соответствующим математическим формулам, первоначально выведенным чистыми математиками, которые совсем не собирались прилагать свои формулы к миру. Видимо, он изначально был, как я говорю, “индуктивистом”, то есть думал, что теории получаются из опыта с помощью более или менее простой процедуры вывода. Если человек исходит из такой посылки, то вполне понятно, почему он удивляется, обнаружив, что теория, сформулированная чистыми математиками в чисто спекулятивной манере, впоследствии оказывается применимой к физическому миру. Но людей, не склонных к индуктивизму, это совсем не удивляет. Они знают, что теория, первоначально выдвинутая как отвлеченное рассуждение, как чистая возможность, очень часто впоследствии оказывается эмпирически применимой. Они знают, что нередко именно спекулятивное предвосхищение (anticipation) открывает путь для эмпирических теорий.
Математика — это то, чем занимаются Гаусс, Чебышев, Ляпунов, Стеклов и я. — в ответ на вопрос, что такое математика
В математике, как ни в какой другой области, ничего не принимают на веру, здесь всегда требуются доказательства.
Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают, и как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предпосылок.
Математика в современном своем состоянии настолько обширна и разнообразна, что можно смело сказать, что в полном объеме она уму человеческому непостижима.
«Очевидный»— самое опасное слово в математике.
Истинную философию вещает природа, но понять её может лишь тот, кто научился понимать ее язык, при помощи которого она говорит с нами. Этот язык есть математика.
Математика создаёт структуры, но неизвестно чьи. Математик строит модели, совершенные сами по себе (то есть совершенные по своей точности), но он не знает, модели чего он создаёт. Это его не интересует. Он делает то, что делает, так как такая деятельность оказалась возможной.